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加法和乘法交换律能证明吗？

来源： 哔哩哔哩

在小学时，我们学过两条运算律，即

现在，值得关注的是关于这个命题的证明，有的人认为这是两条公理，把它当作是理所当然的，但事实并非如此，我们是能给出关于它们的证明的，首先是关于加法运算律的证明，过程如下

先设有两个实数，设是前者加后者的和，有


(资料图片仅供参考)

再设后者加前者的和是，有

现在使用反证法来证明，若

则两者之间必有一者比较大，设

根据不等式的基本性质，在两边同时减去同一个数，仍有

化简后就有

但是，任何一个数都不可能不等于它本身，故而命题的反命题不成立，于是，命题成立，就这样给出了乘法交换律的证明                                                                                               

同理地，我们也可以指出关于乘法交换律的证明，过程如下

设有两个实数，再设前者乘上后者得到，有

接着设后者乘上前者得到，即有

若

则当中有一者较大，设

根据不等式的基本性质，有

化简后会得到

但是这显然是不可能的，故而原命题的反命题不成立，于是原命题成立，就这样给出了乘法交换律的证明                                                                                                                              

总结一下上文，两个运算律的证明都是使用反证法来证的，这说明，反证法在基础代数的证明方法中是及其常用的

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